电工学/电路 - 结点电压法

节点电压法 (文章) | 直流电路分析 | 可汗学院 (khanacademy.org)

MITx 的做法:

  1. 选取接地点
  2. eke_k标出除接地点外的结点电位
  3. 对每个结点列KCL方程
  4. 求解方程并求其他量

例题

Pasted image 20231105095411.png

选取接地点

选择连接元件最多的那个结点或连接电压源负极的结点
此处为

eke_k标出除接地点外的结点电位


图中最上面的结点的电位可以不用标出,因为它和地之间有一个电压源,所以它的电位大小为V0V_0
可直接记作V0V_0

对每个结点列KCL方程

e1e_1列KCL:
首先设经过e1e_1的电流都是向外的,画出图来:

看从e1e_1V0V_0的电流,由于沿着电流的方向电压减小,而I=UR=UGI=\frac{U}{R}=UG,所以可以这样表示II

(e_1-V_0)G_1$$。 同理,其他两个电流: $$ (e_1-e_2)G_3

(e10)G2(e_1-0)G_2

根据KCL,流入结点的电流等于流出的,流入的为0,流出的已经表示出来了,所以可得:

(e1V0)G1+(e1e2)G3+(e10)G2=0(e_1-V_0)G_1+(e_1-e_2)G_3+(e_1-0)G_2=0

同理可得e2e_2的KCL方程:

(e2e1)G3+(e2V0)G4+(e2)G5=I1(e_2-e_1)G_3+(e_2-V_0)G_4+(e_2)G_5=I_1

=流出的=流入的

求解方程

两个方程,e1e_1e2e_2是未知数,所以得把两个未知数提出来,常量写到右边(写成ax1+bx2=cax_1+bx_2=c):

(G1+G2+G3)e1G3e2=V0G1(G_1+G_2+G_3)e_1-G_3e_2=V_0G_1

G3e1+(G3+G4+G5)e2=I1+V0G4-G_3e_1+(G_3+G_4+G_5)e_2=I_1+V_0G_4

写成矩阵形式:

[G1+G2+G3G3G3G3+G4+G5][e1e2]=[V0G1I1+V0G4]\begin{bmatrix} G_1+G_2+G_3 & -G_3\\ -G_3 &G_3+G_4+G_5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e_1 \\ e_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} V_0G_1\\ I_1+V_0G_4 \end{bmatrix}

对于本阶段的题目,直接按中学的求解多元一次方程组的方式求解即可,没有必要使用矩阵的方式求解(1. 求电导矩阵的逆矩阵A1=1AAA^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* 2.逆矩阵和电流矩阵相乘得到结果)。

常用的方式

观察上面整理后的方程,可以得出:

×e×e=与结点直接相连的电导\times e-与相邻结点相连的电导\times e_{相邻}=流入电流

所以第3步对每个结点列KCL方程可以直接这么列。
上面的未标出的e3e_3已知,为V0V_0,一般把 e3=V0e_3=V_0 叫做 增补方程
其他步骤和上面相同。
注意:当有电压源和电阻串联时,如例题中的e1e_1,那么就可以求出这个支路的电流V0G1V_0G_1,方向为电压降低的方向,写在等号右边即可。
有受控源时,将受控源当成独立源一样对待,即按前面的独立电压源和电流源的方法求解,并添加增补方程:将受控源的控制量用结点电压表示。


电工学/电路 - 结点电压法
https://xuejie1.top/2023/12/19/node-method/
作者
Xue Jie
发布于
2023年12月19日
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