《离散数学》左孝凌版部分内容疑问

前言

河北科技大学软件工程2022届使用的离散数学教材就是这本《离散数学》左孝凌版的,上海科学技术文献出版社于1982年出版,距今已有41年了。我的这本的CIP数据页的版次写着:“1982年9月第一版 2019年1月第74次印刷”,印刷了74次,过去了41年,仍然没有改进后再出一版,也没有让它就此湮没在历史的尘烟里,仍然要在现在给今天的大学生一点小小的老古董震撼。(这主要还是怪选用这个课本的学校)

课本老可以,内容没错就行。我刚开学拿到课本时还有这样侥幸的想法,但事实证明我错了。因为开始学第一个概念,就把我整蒙圈了。原因在正文。

如果一个课本开头的第一个概念都有问题,那么这个课本应该也就没有什么读下去的必要了。

本人水平十分有限,没有系统的学过数理逻辑、数学分析等较深的数学专业课,仅通过网络搜集的资料加上自己的浅薄的理解,如有错误,还请指出。

1. 命题的概念

原文

在数理逻辑中,为了表达概念,陈述理论和规则,常常需要应用语言讲行描述,但是日常使用的自然语言,往往叙述时不够确切,也易产生二义性,因此就需要引入一种目标语言,这种目标语言和一些公式符号,就形成了数理逻辑的形式符号体系。所谓目标语言就是表达判断的一些语言的汇集,而判断就是对事物有肯定或否定的一种思维形式,因此能表达判断的语言是陈述句,它称作命题。一个命题,总是具有一个“值”,称为真值。真值只有“真”和“假”两种,记作True(真)和False(假),分别用符号T和F表示。只有具有确定真值的陈述句才是命题,一切没有判断内容的句子,无所谓是非的句子,如感叹句、疑问句、祈使句等都不能作为命题。命题有两种类型:第一种类型是不能分解为更简单的陈述语句,称作原子命题;第二种类型是由联结词,标点符号和原子命题复合构成的命题,称作复合命题。有这些命题,都应具有确定的真值。下面给出实例,说明命题的概念。
(1)中国人民是伟大的。
(2)雪是黑的。
(3)1+101=1101+101=110
(4)别的星球上有生物。
(5)全体立正!
(6)明天是否开大会?
(7)天气多好啊!
(8)我正在说谎。
(9)我学英语,或者我学日语。
(10)如果天气好,那么我去散步。
在上面这些例子中,(1),(2),(4),(9),(10)是命题。其中(9)(10)是复合命题,(4)在目前可能无法决定真值,但从事物的本质而论,它本身是有真假可言的,所以我们承认这也是一个命题。(5),(6),(7)都不是命题。(8)是悖论。(3)在二进制中为真,在十进制中为假,故需根据上下文才能确定真值。

问题

2013年,一位使用这个课本的网友在 Mathematics Stack Exchange 上提了一个问题,是关于上面例1中(3)小问的。

以下是翻译:
一楼 Freewind:
书中有一个问题:1+101=110是一个命题吗?

作者说这不是一个命题,因为如果是二进制,它就是真的,如果是十进制,它就是假的。所以我们无法确定它是真还是假,因此它不是一个命题。

但在《离散数学及其应用》(Discrete Mathematics and Its Applications)一书中,它说1+1=2是一个命题。

如果1+101=110不是一个命题,那么1+101=102也不应该是一个命题,同样,1+1=2也不应该是一个命题。

对于这个问题和答案,我感到困惑,如何正确理解它呢?

更新
我尝试把原文翻译成英语,我英语不好,抱歉。(原文省略,见上


对一楼的回复:
Tony:
不确定,但在十进制中,1 + 1 = 2,而在二进制中,1 + 1 = 10,但在两种情况下,结果都是2,无论如何表示,结果都是相同的。然而,对于101 + 1,结果是102或110,这不是相同数字的不同表示。

Ryan Budney:
说1+101=110不是一个命题可能有点过于极端。通常的假设是,存在明确的沟通方式,即你知道某人在使用哪种语言。如果有人写下一串数字,你会期望能找到一些关于如何解释这些数字的说明。如果没有这样的说明,一般人们会做出假设,并将其视为一个命题。如果我们对一切都毫不假设,那么命题的概念将不复存在,因为当人们将事物写下时,我们无法确切知道他们的意图,我们无法洞悉他人的思维。

Neal:
如果我不懂中文,“wo shi zhongguoren” 就不是一个命题。如果我懂中文,它就是一个命题。

Andreas Blass:
我认为任何人如果因为含糊地认为示例(3)不是一个命题,也应该含糊地认为示例(1)不是一个命题。中国人究竟是指那些居住在中国的人,还是指那些在中国出生但居住在其他地方的人?那些只有一个中国父母的人呢?祖父母有一个在中国呢?这个陈述是在说中国人集体伟大,还是每个中国人(个体)都伟大?练习:以类似的方式质疑陈述(4)。

Cameron Buie:
除了Andreas提到的含糊之外,我敢说示例1是一个涉及观点的问题,因此其真值会因人而异。


三楼[1] 4个赞成 Cameron Buie:
1+101=1021+101=1021+1=21+1=2在任何可用的二进制中都是真的,而且在二进制中甚至没有意义(因此在这种情况下也不是假的)。因此,它们在其真值方面是与上下文无关的(除了它们携带的上下文)。

相比之下,1+101=1101+101=110在所有进制中都是有意义的,但只在二进制中为真,在其他进制中为假。在这里,上下文是关键,而且没有被陈述明确指定。

我怀疑这是不是所谓的“命题”与“非命题”之间的区别。


二楼 5个赞成 Trevor Wilson:

我猜测,正如Cameron所说,这本书的意思是,一个命题是一个陈述句,其真假不依赖于其被评估的上下文。这是一个相当模糊的对于“命题”的定义,人们可以争论这本书是否正确地应用了这个定义。例如:

句子“华盛顿特区是美利坚合众国的首都”的真实性取决于其被评估的时间。美国在其历史上有过几个首都

句子“雪是黑色的”的真实性取决于是否是夜晚,以及附近是否有冒烟的工厂。

我认为说我们迟早会知道其他星球上是否存在生命并不合理;而且,即使我们找到了一些东西,它可能处于我们所考虑的“生命”的边界之上。

句子“我会学英语或日语”取决于说话者是谁,以及在发言时不可用的信息。

无论如何, 这个对于“命题”的定义不够精确,不能被认为是数学上的定义。 我不知道任何在自然语言句子上适用数学精确的“命题”的定义。


四楼 0个赞成 user213378:

命题是一种思想。语言是传达思想所必需的工具。如果两方未达成共识的语言,那么他们无法进行有效的沟通。因此,命题需要一种已经达成共识的语言来进行传达。

就“1 + 101 = 110”的情况而言,除非定义了一种用于传达这个思想的语言,否则这无法被视为命题。一旦定义了一种语言,它就会成为一个命题。

2. 蕴含式的概念

原文

定义1-2.4
给定两个命题PPQQ,其条件命题是一个复合命题,记作PQP\rightarrow Q,读作“如果PP,那末QQ”或“若PPQQ”。当且仅当PP的真值为TT,QQ的真值为FF时,PQP\rightarrow Q的真值为FF,否则PQP\rightarrow Q的真值为TT。我们称PP为前件,QQ为后件。
(……)
在数学上和有些逻辑学的书籍中,“若PPQQ”亦可叫作PP蕴含QQ,而本书在条件命题中将避免使用“蕴含”一词,因为在以后将另外定义“蕴含”这个概念。
(……)
定义1-5.3
当且仅当PQP\rightarrow Q是一个重言式时,我们称“PP蕴含QQ”,并记作P    QP\implies Q

问题

此书对蕴含的定义与大多数其他文献下对蕴含的定义不同。
此书的“条件”相当于其他文献的“蕴含”,是一个联结词。此书的“蕴含式”相当于其他文献的“重言蕴含”,是一种用来描述(条件/蕴含)命题的性质。

  1. 这个论坛是根据赞同数排名的,而不是发布时间,我在这里按发布时间重新排序,楼层数仍然按照赞同数排名。

《离散数学》左孝凌版部分内容疑问
https://xuejie1.top/2023/10/23/discrete-mathematics-errata/
作者
XueJie
发布于
2023年10月23日
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