《离散数学》左孝凌版部分内容疑问

前言

河北科技大学软件工程2022届使用的离散数学教材就是这本《离散数学》左孝凌版的，上海科学技术文献出版社于1982年出版，距今已有41年了。我的这本的CIP数据页的版次写着：“1982年9月第一版 2019年1月第74次印刷”，印刷了74次，过去了41年，仍然没有改进后再出一版，也没有让它就此湮没在历史的尘烟里，仍然要在现在给今天的大学生一点小小的老古董震撼。（这主要还是怪选用这个课本的学校）

课本老可以，内容没错就行。我刚开学拿到课本时还有这样侥幸的想法，但事实证明我错了。因为开始学第一个概念，就把我整蒙圈了。原因在正文。

如果一个课本开头的第一个概念都有问题，那么这个课本应该也就没有什么读下去的必要了。

本人水平十分有限，没有系统的学过数理逻辑、数学分析等较深的数学专业课，仅通过网络搜集的资料加上自己的浅薄的理解，如有错误，还请指出。

1. 命题的概念

原文

在数理逻辑中，为了表达概念，陈述理论和规则，常常需要应用语言讲行描述，但是日常使用的自然语言，往往叙述时不够确切，也易产生二义性，因此就需要引入一种目标语言，这种目标语言和一些公式符号，就形成了数理逻辑的形式符号体系。所谓目标语言就是表达判断的一些语言的汇集，而判断就是对事物有肯定或否定的一种思维形式，因此能表达判断的语言是陈述句，它称作命题。一个命题，总是具有一个“值”，称为真值。真值只有“真”和“假”两种，记作True(真)和False(假)，分别用符号T和F表示。只有具有确定真值的陈述句才是命题，一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、疑问句、祈使句等都不能作为命题。命题有两种类型：第一种类型是不能分解为更简单的陈述语句，称作原子命题；第二种类型是由联结词，标点符号和原子命题复合构成的命题，称作复合命题。有这些命题，都应具有确定的真值。下面给出实例，说明命题的概念。
(1)中国人民是伟大的。
(2)雪是黑的。
(3)$1+101=110$
(4)别的星球上有生物。
(5)全体立正！
(6)明天是否开大会？
(7)天气多好啊！
(8)我正在说谎。
(9)我学英语，或者我学日语。
(10)如果天气好，那么我去散步。
在上面这些例子中，(1)，(2)，(4)，(9)，(10)是命题。其中(9)(10)是复合命题，(4)在目前可能无法决定真值，但从事物的本质而论，它本身是有真假可言的，所以我们承认这也是一个命题。(5),(6),(7)都不是命题。(8)是悖论。(3)在二进制中为真，在十进制中为假，故需根据上下文才能确定真值。

问题

2013年，一位使用这个课本的网友在 Mathematics Stack Exchange 上提了一个问题，是关于上面例1中(3)小问的。

以下是翻译：
一楼 Freewind:
书中有一个问题：1+101=110是一个命题吗？

作者说这不是一个命题，因为如果是二进制，它就是真的，如果是十进制，它就是假的。所以我们无法确定它是真还是假，因此它不是一个命题。

但在《离散数学及其应用》(Discrete Mathematics and Its Applications)一书中，它说1+1=2是一个命题。

如果1+101=110不是一个命题，那么1+101=102也不应该是一个命题，同样，1+1=2也不应该是一个命题。

对于这个问题和答案，我感到困惑，如何正确理解它呢？

更新
我尝试把原文翻译成英语，我英语不好，抱歉。（原文省略，见上）

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对一楼的回复：
Tony:
不确定，但在十进制中，1 + 1 = 2，而在二进制中，1 + 1 = 10，但在两种情况下，结果都是2，无论如何表示，结果都是相同的。然而，对于101 + 1，结果是102或110，这不是相同数字的不同表示。

Ryan Budney:
说1+101=110不是一个命题可能有点过于极端。通常的假设是，存在明确的沟通方式，即你知道某人在使用哪种语言。如果有人写下一串数字，你会期望能找到一些关于如何解释这些数字的说明。如果没有这样的说明，一般人们会做出假设，并将其视为一个命题。如果我们对一切都毫不假设，那么命题的概念将不复存在，因为当人们将事物写下时，我们无法确切知道他们的意图，我们无法洞悉他人的思维。

Neal:
如果我不懂中文，“wo shi zhongguoren” 就不是一个命题。如果我懂中文，它就是一个命题。

Andreas Blass:
我认为任何人如果因为含糊地认为示例(3)不是一个命题，也应该含糊地认为示例(1)不是一个命题。中国人究竟是指那些居住在中国的人，还是指那些在中国出生但居住在其他地方的人？那些只有一个中国父母的人呢？祖父母有一个在中国呢？这个陈述是在说中国人集体伟大，还是每个中国人（个体）都伟大？练习：以类似的方式质疑陈述(4)。

Cameron Buie:
除了Andreas提到的含糊之外，我敢说示例1是一个涉及观点的问题，因此其真值会因人而异。

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三楼^[1] 4个赞成 Cameron Buie：
$1+101=102$和$1+1=2$在任何可用的二进制中都是真的，而且在二进制中甚至没有意义（因此在这种情况下也不是假的）。因此，它们在其真值方面是与上下文无关的（除了它们携带的上下文）。

相比之下，$1+101=110$在所有进制中都是有意义的，但只在二进制中为真，在其他进制中为假。在这里，上下文是关键，而且没有被陈述明确指定。

我怀疑这是不是所谓的“命题”与“非命题”之间的区别。

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二楼 5个赞成 Trevor Wilson：

我猜测，正如Cameron所说，这本书的意思是，一个命题是一个陈述句，其真假不依赖于其被评估的上下文。这是一个相当模糊的对于“命题”的定义，人们可以争论这本书是否正确地应用了这个定义。例如：

句子“华盛顿特区是美利坚合众国的首都”的真实性取决于其被评估的时间。美国在其历史上有过几个首都。

句子“雪是黑色的”的真实性取决于是否是夜晚，以及附近是否有冒烟的工厂。

我认为说我们迟早会知道其他星球上是否存在生命并不合理；而且，即使我们找到了一些东西，它可能处于我们所考虑的“生命”的边界之上。

句子“我会学英语或日语”取决于说话者是谁，以及在发言时不可用的信息。

无论如何， 这个对于“命题”的定义不够精确，不能被认为是数学上的定义。 我不知道任何在自然语言句子上适用的数学上精确的“命题”的定义。

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四楼 0个赞成 user213378:

命题是一种思想。语言是传达思想所必需的工具。如果两方未达成共识的语言，那么他们无法进行有效的沟通。因此，命题需要一种已经达成共识的语言来进行传达。

就“1 + 101 = 110”的情况而言，除非定义了一种用于传达这个思想的语言，否则这无法被视为命题。一旦定义了一种语言，它就会成为一个命题。

2. 蕴含式的概念

原文

定义1-2.4
给定两个命题$P$和$Q$,其条件命题是一个复合命题，记作$P\rightarrow Q$,读作“如果$P$,那末$Q$”或“若$P$则$Q$”。当且仅当$P$的真值为$T$,$Q$的真值为$F$时，$P\rightarrow Q$的真值为$F$,否则$P\rightarrow Q$的真值为$T$。我们称$P$为前件，$Q$为后件。
（……）
在数学上和有些逻辑学的书籍中，“若$P$则$Q$”亦可叫作$P$蕴含$Q$,而本书在条件命题中将避免使用“蕴含”一词，因为在以后将另外定义“蕴含”这个概念。
（……）
定义1-5.3
当且仅当$P\rightarrow Q$是一个重言式时，我们称“$P$蕴含$Q$”,并记作$P\implies Q$。

问题

此书对蕴含的定义与大多数其他文献下对蕴含的定义不同。
此书的“条件”相当于其他文献的“蕴含”，是一个联结词。此书的“蕴含式”相当于其他文献的“重言蕴含”，是一种用来描述（条件/蕴含）命题的性质。

1. 这个论坛是根据赞同数排名的，而不是发布时间，我在这里按发布时间重新排序，楼层数仍然按照赞同数排名。 ↩